El sistema de posicionamiento global GPS y la relatividad

Al día de hoy la tecnología GPS forma parte de nuestra vida diaria. Encontramos receptores GPS en los aviones, barcos, en nuestros autos, e incluso en nuestros teléfonos. ¿Pero cómo funciona esta tecnología, y qué relación tiene con la teoría de la relatividad?

Sistema de Posicionamiento Global

La sigla GPS hace referencia a los términos en inglés Global Position System, lo que en español significa Sistema de Posicionamiento Global. Originalmente se trataba de una red de 24 satélites (llamada constelación GPS) orbitando nuestro planeta a unos 20000 km de altura, tardando 12hs en dar una vuelta completa. Estos satélites están uniformemente distribuidos en 6 órbitas prácticamente circulares, en una inclinación de 55º respecto del ecuador terrestre. Actualmente la constelación cuenta con 32 satélites. Los satélites adicionales proveen medidas redundantes, lo que ayuda a mejorar los cálculos realizados por los receptores.

El objetivo de la constelación es permitir la ubicación (coordenadas sobre la superficie de la Tierra) de un receptor particular con una precisión aceptable. Dadas las características de las órbitas sucede que en cualquier punto de la superficie siempre hay, por lo menos, 5 satélites sobre el horizonte, lo que permite realizar el posicionamiento mediante trilateración. La trilateración es un método geométrico que permite calcular las coordenadas de un punto en el espacio si es que se conoce la distancia del punto en cuestión a otros 3 puntos de referencia, que en este caso corresponden a las posiciones de 3 satélites GPS. El método consiste en construir, alrededor de cada uno de los puntos de referencia, una esfera de radio igual a la distancia entre el punto de referencia y el punto que se quiere ubicar. La solución es precisamente el punto de intersección de las 3 esferas. Para que la ubicación sea posible, entonces, es necesario tener la información correspondiente a la posición de cada satélite y la distancia de este al receptor en cuestión. Tanto los satélites como los receptores están equipados con relojes que están sincronizados. Cuando se comunican, cada satélite envía al receptor su posición y la hora de su reloj interno. El receptor calcula la diferencia entre la hora a la que recibe la señal y la hora a la que fue enviada, y obtiene la distancia al satélite como el producto entre esta diferencia y la velocidad de propagación de la señal, que es la velocidad de la luz.

Es claro que la precisión en el posicionamiento depende fuertemente de la habilidad para sincronizar los relojes. Dado que las distancias son muy grandes, pequeños errores en la sincronización pueden llevar a errores del orden de 10km en la posición del receptor. Una precisión aceptable requiere una sincronización con error del orden del nanosegundo (1 nanosegundo representa la millonésima parte de 1 milésimo de segundo), posible solo con el uso de relojes atómicos. Si bien los satélites están equipados con relojes atómicos, el uso de estos en los receptores no es ni práctico ni rentable. El problema de la sincronización se resuelve en la práctica utilizando relojes de cuarzo en receptores que se comunican con 4 o más satélites, lo que permite corregir los errores en la medición del tiempo.

La necesidad de incluir correcciones relativistas

Relatividad especial

La teoría especial de la relatividad [1] nos dice que observadores en movimiento relativo asignarán, en general, tiempos diferentes a un mismo evento. Este fenómeno se conoce como dilatación temporal, y puede demostrarse que la diferencia en el tiempo marcado por dos relojes en sistemas de referencia distintos depende de la velocidad relativa entre estos. En general no notamos la dilatación temporal en los fenómenos cotidianos, porque su efecto es despreciable a velocidades bajas (en comparación a la velocidad de la luz). El efecto, sin embargo, se vuelve importante en el problema de sincronización del sistema GPS: La velocidad de los satélites relativa a un receptor en tierra es de aproximadamente 4 km/s, lo que implica que los relojes en órbita van a atrasar respecto al reloj en la Tierra unos 7 microsegundos por día. Esta diferencia puede parecer pequeña, pero el posicionamiento requiere una precisión del orden del nanosegundo, y 7 microsegundos son 7000 nanosegundos. A lo largo de un día el error acumulado en la determinación de la distancia del receptor a cada satélite es de aproximadamente 2 km.

Relatividad general

Sabemos gracias a la teoría general de la relatividad [2] que para relojes inmersos en un campo gravitatorio el tiempo pasa más o menos lento, dependiendo de la intensidad del campo en la región en la que se encuentra el reloj en cuestión. El campo gravitacional de la Tierra se hace menos intenso a medida que nos alejamos radialmente, por lo que al aumentar la altura sobre la superficie el tiempo medido por nuestro reloj corre cada vez más lento. No notamos este efecto en el día a día cuando estamos en lo alto de un edificio o incluso al viajar en avión, porque la dilatación es muy pequeña. A 20000 km de altura, que es la zona en la que se encuentran la constelación de satélites GPS, el efecto es bastante más importante. Los relojes dentro de los satélites van a adelantar respecto del reloj del receptor en tierra, de manera que a lo largo de un día la discrepancia acumulada en la hora de estos relojes llega a los 45 microsegundos, lo que implica un error en la medición de la distancia de aproximadamente 13.5 km. El efecto combinado de la dilatación temporal por movimiento relativo, y la correspondiente dilatación debida a la acción del campo gravitatorio implica un error neto, acumulado a lo largo de un día, de unos 38 (45-7) microsegundos, lo que equivale a un error de unos 11.5 km en la determinación de la distancia. Los ingenieros que diseñaron el sistema GPS tuvieron en cuenta la dilatación temporal, y compensaron los 38 microsegundos diarios calibrando adecuadamente los relojes atómicos antes de poner los satélites en órbita. De no haberlo hecho, el sistema se habría vuelto inútil casi inmediatamente después ponerlo en funcionamiento. La teoría de la relatividad parece una construcción abstracta y puramente matemática, sin relación directa con nuestra vida diaria. Pero el funcionamiento del sistema de posicionamiento GPS nos demuestra lo contrario.